随机变量的数字特征

数学期望

定义

设$X$是离散型随机变量，其分布律为：$P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\dots$ 如果级数绝对收敛，则称它为$X$的数学期望，简称期望， 又称均值，记为$E(X)$。

$$E(X)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k{p}_k$$

若$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k|\cdot p_k$发散，则称$X$的数学期望不存在。

随机变量函数的数学期望

设X是一个随机变量，Y=g(X)是X的函数。若绝对收敛，则Y的数学期望存在，且

1. 设X为离散型随机变量, 且其分布律为$P\left\{X=x_i\right\}=p_i，i=1,2,\dots$

$$E(Y)=E(g(X))=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}g(x_k)p_k$$

则Y的数学期望存在，且

2. 设X为连续型随机变量, 其概率密度为 f(x)，若绝对收敛，

$$E(Y)=E(g(X))={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(x)f(x)dx$$

性质

1. 设$c$是常数，则$E(c)=c$
2. 若随机变量$X$的数学期望存在，$k$为常数，则$E(kX)=kE(X)$
3. 若随机变量$X$和$Y$的数学期望都存在，则$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
4. 设随机变量$X$和$Y$的数学期望都存在，且互相独立，则$E(XY)=E(X)E(Y)$。

方差

定义

设随机变量$X$的数学期望为$E(X)$, 若$E((X-E(X){)}^2)$存在, 则称它为$X$的方差(Variance)，记为$D(X)$或$Var(X)$，即 $D(X)=E((X-E(X){)}^2)$

性质

$$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

设随机变量$X$的期望和方差都存在，$E(X)=\mu$，$a$为常数，则有 $D(X)\le E((X-a{)}^2)$ 等号成立当且仅当$a=\mu$

方差 $X^{\ast }$ 称为 $X$ 的标准化随机变量。显然标准化的随机变量是无量纲的。引入标准化的随机变量主要是为了消除计量单位的不同给随机变量带来的影响。

设随机变量 $X$ 的方差 $D(X)$ 存在, 且 $D(X)>0$，令

$$X^{\ast }=\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}$$

则 $X^{\ast }$ 的数学期望和方差分别为

$$E(X^{\ast })=E\left(\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}\right)=\frac{E(X)-E(X)}{\sqrt{D(X)}}=0$$$$\begin{array}{rl}D(X^{\ast })& =E((X^{\ast }{)}^2)-{[E(X^{\ast })]}^2\\ & =E\left({\left(\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}\right)}^2\right)\\ & =\frac{E((X-E(X){)}^2)}{D(X)}\\ & =1\end{array}$$

方差的性质

1. 设$c$是常数，则$D(c)=0$
2. 若随机变量$X$的方差存在，$k$为常数，则$D(kX)=k^{2}D(X)$
3. 若随机变量$X$和$Y$的方差都存在，且独立，则$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$

协方差

定义

设$(X,Y)$是二维随机变量，若$E((X-E(X))(Y-E(Y)))$存在，则称它为$X$和$Y$的协方差，记为$Cov(X,Y)$，即

$$Cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))$$

性质

$$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$

设随机变量$X$, $Y$, $Z$的协方差都存在，$a$, $b$为常数，则有：

1. $Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$
2. $Cov(X,X)=D(X)$
3. $Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$
4. $Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)$

若$X$和$Y$相互独立，则$Cov(X,Y)=0$

相关系数

定义

设$(X,Y)$是二维随机变量，$D(X)>0$, $D(Y)>0$，则称

$${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$$

为$X$和$Y$的相关系数。

性质

1. $|{\rho }_{XY}|\le 1$
2. $|{\rho }_{XY}|=1$的充分必要条件是$X$和$Y$之间存在线性关系，即存在常数$a\ne 0$和$b$，使得$P\{Y=aX+b\}=1$
3. 若$X$和$Y$相互独立，则${\rho }_{XY}=0$，称$X$和$Y$不相关

注意：独立一定不相关，但不相关不一定独立（除非是二维正态分布）